Конечное и бесконечное¶

Бесконечное и конечное¶

Метафизика разрывает бесконечное и конечное как противостоящие друг другу категории. В действительности бесконечное и конечное находятся в диалектической связи. Бесконечное существует только посредством конечных форм материи, через конечное. Материальный мир бесконечен в пространстве и времени, но он является в то же время совокупностью развивающихся конечных вещей, явлений, процессов. Понятия бесконечного и конечного отражают эту реальную связь беспрестанно движущейся материи. Понятие конечного отражает ограниченность конкретных вещей, явлений, процессов в пространстве и времени. Понятие бесконечного выражает соответственно безграничность материи в пространстве и времени. Понятие это также отражает бесконечное качественное многообразие вещей, явлений и процессов материального мира. Бесконечность противоречива, она включает всё многообразие конечного, но не является простой суммой конечных вещей, ибо бесконечность означает вечное движение, изменение, отмирание старого и возникновение нового.

Энгельс различает понятие дурной и истинной бесконечности. В дурной бесконечности мы имеем простой непрерывный выход за пределы конечного, например в случае простого ряда 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1...; бесконечность здесь означает сумму бесконечного ряда единиц, и эта бесконечность противостоит как нечто чуждое конечности. Истинная же бесконечность означает реально существующий и вечно развивающийся мир во всём неисчерпаемом богатстве его проявлений. Понятия бесконечно большого и бесконечно малого в математике, составляющие основу математического анализа, отражают реальные отношения. Реальность математического бесконечно большого – в бесконечности материи в пространстве и времени, в бесконечном многообразии вещей и их качеств. Прообразами математического бесконечно малого являются мельчайшие частицы материи с их бесконечной неисчерпаемостью. Энгельс указывает также, как на прообразы бесконечно малого, на отдельные небесные тела, размеры которых в сравнении с пространственными расстояниями между ними (например, расстояния между звёздами) представляются весьма малыми и позволяют оперировать с ними в математике как с бесконечно малыми. Математический анализ именно потому имеет огромное значение в науке, что понятия бесконечно большого и бесконечно малого абстрагированы от реальных отношений в материальном мире. Таким образом, бесконечное и конечное являются противоположностями, которые существуют лишь в связи друг с другом, взаимно проникают друг друга.

Infinite and Finite¶

Categories denoting the two inseparably connected opposite aspects of the objective world. For example, an unlimitedly increasing (or decreasing) variable quantity, capable of becoming, and in fact becoming, more (or less) than any pregiven quantity, however large (or small), is called an infinite quantity; a definite quantity, in relation to which another definite quantity may be indicated as larger (or smaller), is known as a finite quantity.

In its application to the objective world the infinite characterises: (1) the existence of the world in space and the essential non-isolation of all material systems; (2) the existence of the world in time, the uncreatability and indestructibility of matter, the eternity of its existence; (3) the quantitative inexhaustibility of matter in depth, the infinite variety of its qualities, interrelations, forms of existence, and tendencies of development; (4) the qualitative heterogeneity of the structure of matter, the existence of innumerable qualitatively different levels of the structural organisation of matter, which possesses at each level different specific properties and is subject to different laws.

The finite is the negation of the infinite, but at the same time every finite object is a form of the manifestation of the infinite. As a given, definite quality, it exists for a limited time. But the matter of which it is composed is uncreatable and indestructible, exists for eternity, and merely changes from one form to another. The existence of a given body may be discovered in any part of the Universe, no matter how distant, to which material rays created by one body interacting with other bodies can penetrate.

Thus the finite also includes the infinite, just as the infinite is composed of innumerable finite objects and phenomena. The contradictory unity of the infinite and finite makes it possible to know the infinite, although at every step in his practical activity and cognition man comes into contact with only finite objects and processes. But since the infinite is either contained or manifested in some way or other in every finite object, "all true knowledge of nature is knowledge of the eternal, the infinite" (Engels, Dialectics of Nature, p. 238).

Конечное¶

То, что имеет предел, границу, конец. В философии понятие К. используется как категория, характеризующая всякий определённый, ограниченный объект (вещь, процесс, явление, состояние, свойство и т. д.). Каждый познаваемый объект действительности выступает в некотором отношении как К.

Определённость К. придаёт его граница. Она может быть пространственно-временной, количественной, качественной. Граница и отделяет конечный объект от других, и связывает его с ними. Поэтому К., с одной стороны, обладает относительно самостоятельным, обособленным бытием, а с другой - обусловлено чем-то другим и зависит от него. В этом заключается противоречивость К. Наиболее глубокое представление о К. даётся знанием присущей ему меры. Наличие границы или меры необходимо предполагает возможность выхода за неё, т. е. отрицания данного К., перехода или превращения его в другое. Учёт этого приводит к диалектической концепции К., согласно которой оно может быть понято только как единство собственного бытия с собственным небытием, как взаимопереход их друг в друга. Иначе говоря, К. должно пониматься как движущееся, изменяющееся, преходящее.

Рассмотрение процесса движения К., в ходе которого совершается постоянный выход за его границу, ведёт к идее бесконечности. Связь К. с бесконечным носит двоякий характер: во-первых, всякий конечный объект связан с бесконечным многообразием других конечных объектов «вне себя» (экстенсивная бесконечность); во-вторых, он содержит бесконечное в себе как выражение всеобщих, инвариантных характеристик (интенсивная бесконечность). Следовательно, при познании любого материального объекта мы наталкиваемся на единство К. и бесконечного. Всякий материальный объект неисчерпаем (принцип неисчерпаемости материи). Познание «заключается в том, что мы находим и констатируем бесконечное в конечном, вечное - в преходящем» (Энгельс Ф., смотри Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 548).

В математике понятие К. (как и понятие бесконечного) конкретизируется применительно к специфике математических объектов. При построении той или иной математической теории оно получает различные истолкования, в которых учитываются лишь те способы определения и ограничения объектов, с которыми оперирует данная теория. При рассмотрении объектов, конечных в одном отношении и бесконечных в другом, в математике нередко называют их конечными, но неограниченными, или бесконечными, но ограниченными (например, множество точек отрезка прямой бесконечно, но ограничено; замкнутое эллиптическое пространство Римана конечно, но не ограничено). В этих случаях, однако, под конечностью (бесконечностью) также понимается наличие (отсутствие) границы в некотором отношении (например, пространство Римана конечно в том смысле, что имеет количественную границу, характеризующую величину наибольшего расстояния в нём). В наиболее общей форме математического определения К. (конечного множества) даются в математической логике и теории множеств (например, дедекиндово определение: множество М конечно, если среди его собственных подмножеств не существует такого, которое было бы эквивалентно ему). Доказано, что среди различных определений конечного множества не может быть ни «самого сильного», ни «самого слабого», т. е. для любого из них найдётся как такое определение, которое логически выводимо из него, так и такое, из которого оно само может быть выведено.

А. С. Кармин.

Ф. Энгельс¶

Бесконечность. Анти-Дюринг
– 46–51;
– как противоречие – 50–51;
– конечное и бесконечное – 50–51, 60;
– пространства и времени – 47–51;
– в математике – 46–47, 49–51, 398–404;
– и познание – 87–88, 124, 128;
– «дурная бесконечность» – 46, 52.

Бесконечность. Диалектика природы
– дурная бесконечность – 162, 188, 190;
– бесконечный прогресс у Гегеля – 190, 191;
– бесконечно большое и бесконечно малое в математике – 208;
– прообразы математического бесконечного в действительном мире – 215–220;
– взаимоотношения конечного и бесконечного – 187–189, 191;
– бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо – 188