ПЕРЕМЕННАЯ И ПОСТОЯННАЯ

Variable and Constant

Terms used in mathematics and logic. In mathematics, a variable is a quantity which may have different values and a constant is a quantity which maintains the same value. Descartes was the first to use these terms systematically.

In mathematical logic variables are used in formulating the laws of logic, axioms, and rules of inference of logical calculi, thus stressing their general nature. Variables in logic denote in this case arbitrary constant objects (statements, objects, predicates); such variables are called substantive. In logical calculi, variables may be regarded as objects defined in a special way; such variables are called formal. Symbols of logical operations, quantifiers, and others are logical constants.

Переменные и постоянные величины

Величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения либо, соответственно, сохраняют одно и то же значение. Например, при изучении падения тела расстояние последнего от земли и скорость падения - переменные величины, ускорение же (если пренебречь сопротивлением воздуха) - величина постоянная. Элементарная математика рассматривала все изучаемые ею величины как постоянные. Понятие переменной величины возникло в математике в 17 в. под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения - процессов, а не только состояний. Это понятие не укладывалось в формы, выработанные математикой древности и средних веков, и требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Р. Декарта. В буквах декартовой алгебры, могущих принимать произвольные числовые значения, и нашли своё символическое выражение переменные величины.

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление...» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). В этот период и вплоть до середины 19 в. преобладают механические воззрения на переменные величины. Наиболее ярко они были выражены И. Ньютоном, называвшим переменные величины «флюэнтами», то есть текущими, и рассматривавшим их «... не как состоящие из крайне малых частей, но как описываемые непрерывным движением» («Математические работы», М., 1937, с. 167). Эти воззрения оказались весьма плодотворными и, в частности, позволили Ньютону совершенно по-новому подойти к нахождению площадей криволинейных фигур. Ньютон впервые стал рассматривать площадь криволинейной трапеции ( ABNM на рис. ) не как постоянную величину (вычисляемую суммированием составляющих её бесконечно малых частей), а как переменную величину, производимую движением ординаты кривой ( NM); установив, что скорость изменения рассматриваемой площади пропорциональна ординате NM , он тем самым свёл задачу вычисления площадей к задаче определения переменной величины по известной скорости её изменения.

Законность внесения в математику понятия скорости была обоснована в начале 19 в. теорией Пределов, давшей точное определение скорости как производной. Однако в течение 19 в. постепенно выясняется ограниченность описанного выше воззрения на переменные величины. Математический анализ всё больше становится общей теорией функций, развитие которой невозможно без точного анализа сущности и объёма её основных понятий. При этом оказывается, что уже понятие непрерывной функции в действительности значительно сложнее, чем приведшие к нему наглядные представления. Открываются непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке; понимать такую функцию как результат движения означало бы допускать движение, не имеющее скорости ни в какой момент. Всё большее значение приобретает изучение разрывных функций, а также функций, заданных на множествах значительно более сложной структуры, чем интервал или объединение нескольких интервалов. Ньютоновское толкование переменной величины становится недостаточным, а во многих случаях и бесполезным.

С другой стороны, математика начинает рассматривать как переменные не только величины, но и всё более разнообразные и широкие классы других своих объектов. На этой почве во 2-й половине 19 в. и в 20 в. развиваются теория множеств, топология и математическая логика. О том, насколько расширилось в 20 в. понятие переменной величины, свидетельствует тот факт, что в математической логике рассматриваются не только переменные, пробегающие произвольные множества предметов, но и переменные, значениями которых служат высказывания, предикаты (отношения между предметами) и т.д. (см. Переменная).

Рис. к ст. Переменные и постоянные величины.