ЛОГИКА МОДАЛЬНАЯ

Logic, Modal

A logical system which formulates such relations as "necessity", "reality", "possibility", "chance", and their negations (see Modality). The first attempt to construct Modal Logic was undertaken by Aristotle (see Syllogistic), who formulated a number of important definitions and principles. The development of mathematical logic gave a new stimulus to the elaboration of Modal Logic.

The result was the construction of a number of Modal Logic systems, the best known of which are: the tri-valued and four-valued systems of Lukasiewicz, the axiomatic systems of strict implication of C. Lewis, and the systems of relative modality of G. H. Wright. In the systems of Lukasiewicz and Lewis the modalities are absolute, i.e., they are assigned to one proposition independently of any others. In Wright's systems the modalities are relative, i.e., they are assigned to one of the propositions under certain conditions, which are expressed in other propositions. At the same time there is not yet any satisfactory general theory of Modal Logic, although the demand for its elaboration is obviously felt in some branches of knowledge (e.g., mathematics, linguistics).

Модальная логика

Область логики, посвящённая изучению модальностей, построению исчислений, в которых модальности применяются к высказываниям, наряду с логическими операциями, и сравнительному исследованию таких исчислений.

«Модальные операторы» («возможно», «необходимо» и др.) могут относиться как к высказываниям или Предикатам, так и к словам, выражающим какие-либо действия или поступки. Интерес к проблемам М. л. обусловлен прежде всего естественной связью, с одной стороны, между модальностями типа «необходимо» и понятием «логического закона» (т. е. тождественно истинного высказывания какой-либо логической системы), а с другой - между модальностями типа «возможно» и такими гносеологическими и общенаучными понятиями, как «(эффективно) осуществимо», «вычислимо» и т. п.

В классических системах М. л. (для которых справедлив исключённого третьего принцип A V ¬ A или закон снятия двойного отрицания ¬ ¬ A ⊃ A для модальностей имеют место соотношения двойственности, аналогичные «законам де Моргана» ¬ (A V В ) ≡ (¬ A & ¬ В ) и ¬ ( A & B ) ≡ (¬ A V ¬ В ) алгебры логики и соответствующим эквивалентностям для кванторов, связывающие операторы возможности

и необходимости с отрицанием:

A ≡ ¬ ¬ A; и A ≡ ¬ ¬ A.

Поэтому в аксиоматических системах М. л. в качестве исходной вводят обычно одну модальную операцию (используя какую-либо из этих эквивалентностей в качестве определения другой операции). Аналогично вводятся и другие модальные операции (не входящие в число логических операций и не выразимые через них).

Системы М. л. могут быть интерпретированы в терминах многозначной логики (простейшие системы - как трёхзначные: «истина», «ложь», «возможно»). Это обстоятельство, а также возможность применения М. л. к построению теории «правдоподобных» выводов указывают на её глубокое родство с вероятностной логикой.

Кроме рассматривавшихся выше «абсолютных» модальностей, в М. л. приходится иметь дело с т. н. относительными, т. е. связанными с какими-либо условиями («A возможно, если В », и т. п.); формализация правил обращения с ними не вызывает дополнительных трудностей и проводится с помощью аппарата ограниченных кванторов (с использованием предикатов, выражающих ограничительные условия, и логические операции материальной импликации).

Ю. А. Гастев.