ЛОБАЧЕВСКИЙ НИКОЛАЙ

Лобачевский Николай Иванович (1792–1856)

Великий русский математик, творец неэвклидовой геометрии, выразитель материалистических взглядов на математику и её основы. В 1811 г. по окончании университетского курса Лобачевский получил звание магистра математики. Двадцати трёх лет он был уже профессором. Казанскому университету, ректором которого он был 19 лет, Лобачевский отдал всю свою жизнь. Он был проводником передовых идей в обучении юношества. Лобачевский – крупнейший деятель университетского образования. Заслуги Лобачевского в области народного просвещения в России огромны, но бессмертное имя он заслужил открытием неэвклидовой геометрии. Он не только указал на возможность создания геометрии, отличной от обычной геометрии Эвклида, он первый в мире построил логически безупречную систему такой новой геометрии.

Более двух тысячелетий геометрические представления людей покоились на учении, выраженном ещё в III в. до н. э. в «Началах» Эвклида. Согласно этому учению в основе всей элементарной геометрии лежит группа аксиом – её исходные положения. Ещё в глубокой древности математики заметили, что аксиома о параллельных линиях (её называют одиннадцатой аксиомой или пятым постулатом Эвклида) не является столь очевидной, как другие аксиомы. Эта аксиома гласит: через точку, лежащую вне данной прямой, проходит в одной плоскости с нею только одна параллельная ей прямая. Многие учёные пытались вывести эту аксиому из других, но безуспешно. Лобачевский высказал смелую мысль о том, что вывести указанную аксиому из других вообще невозможно – она независима от них. При этом он исходил из стремления связать основные положения геометрии со свойствами материальных тел природы. Приняв допущение, что к данной прямой через данную точку можно провести в общей их плоскости по крайней мере две параллельные прямые, он получил хотя и своеобразную, но совершенно новую стройную геометрическую систему, не содержащую никаких внутренних противоречий. Эту систему и называют геометрией Лобачевского. Тот факт, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника не равна 180°, как в эвклидовой, а всегда меньше, что через точку можно провести к данной прямой, не содержащей этой точки, несколько параллельных прямых, был столь необычным в то время, что казался парадоксальным. Однако новизна и необычность открытия, ломающего многовековые научные традиции, не испугали Лобачевского. Он смело высказал свои взгляды в 1826 г. устно, а в 1829 г. и в следующие годы опубликовал их, завоевав неоспоримый приоритет открытия неэвклидовой геометрии. Глубокие идеи Лобачевского не были поняты его современниками. Потребовалось около полувека, для того чтобы идеи его вошли в математику как её составная часть и явились поворотным пунктом в области математики в последующую эпоху. При жизни Лобачевского публично оценил его бессмертное открытие только русский профессор-казанец П. И. Котельников, который в 1842 г. в актовой речи «О предубеждениях против математики» сказал, что великий труд Лобачевского рано или поздно найдёт своих ценителей. Уже через каких-нибудь 10 лет после смерти Лобачевского было доказано, что положения планиметрии Лобачевского осуществляются на некоторых кривых поверхностях (так называемых псевдосферических). Оправдалось предположение Лобачевского, что в окружающем нас пространстве геометрия Эвклида отнюдь не является единственной. Оказалось даже, что геометрия Лобачевского – не единственная неэвклидова геометрия, если мы не ограничиваемся только рассмотрением твёрдого тела в бесконечном пространстве. Таким образом, в результате открытия Лобачевского оказалось, что геометрия Эвклида – лишь одна из возможных геометрий, верная до тех пор, пока мы оперируем в пределах привычных для нас протяжений. Неэвклидова геометрия нашла многочисленные приложения в других разделах математики; она играет важную роль в современной физике; без неэвклидовой геометрии не была бы возможна теория относительности.

Мировоззрение Лобачевского было материалистическим. В своих математических работах и в преподавании математики он постоянно заботился о выяснении реальной природы понятий, положенных в основания науки. Лобачевский твёрдо и последовательно проводил мысль, что «первыми данными без сомнения будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств», что «первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука... приобретаются чувствами; врождённым – не должно верить». Этот сенсуализм Лобачевского носит ярко выраженный материалистический характер. Для Лобачевского внешний мир объективен, а наши представления о нём – результат воздействия реального мира на сознание человека через ощущения, чувства. Именно поэтому «в основание математических наук могут быть приняты все понятия, каковы бы они ни были, приобретаемые из природы...». Ярко выраженную материалистическую направленность имеют взгляды Лобачевского на соотношение теории и практики. Критерием истины для него служат опыт, практика. Лобачевский считал, что логическая непротиворечивость геометрии была ещё недостаточна для того, чтобы признать её истинной. Он требовал практического подтверждения её соответствия реальным отношениям физического пространства. Пошатнув «незыблемость» основ эвклидовой геометрии, Лобачевский нанёс тяжёлый удар философии Канта, который в этой «незыблемости» пытался найти опору для своей философии и рассматривал истины геометрии не как результат опыта человечества, а как врождённые (априорные) формы человеческого сознания. Лобачевский постоянно подчёркивал никчёмность попыток выводить всю математику из одних лишь построений разума. «...Все математические начала,– говорил он,– которые думают произвести из самого разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики...» Столь же страстно боролся Лобачевский и против формализма в математике, выхолащивающего из математики и её понятий их реальное содержание и видящего в математических знаках и операциях над ними лишь простую игру символов. Эта борьба Лобачевского не потеряла своей актуальности и по сей день, когда формализм расцветает пышным цветом в буржуазной науке.

Лобачевский был патриотом своей родины. Он требовал от пришедшего в университет студента прежде всего, чтобы он был гражданином, который «высокими познаниями своими составляет честь и славу своего отечества». Прогрессивное значение великих идей Лобачевского состоит в том, что его открытие расширило границы геометрии и вывело её на путь широкого развития. Материалистический характер исходных установок Лобачевского, его стремление выяснить материалистическое содержание математических понятий, раскрыть связи между геометрией и свойствами реального мира делают его одним из наиболее ярких мыслителей XIX в.

Lobachevsky Nikolai Ivanovich (1792–1856)

Russian mathematician who pioneered a new geometry known as the geometry of Lobachevsky. He graduated at the University of Kazan in 1811 and at the age of 23 became a professor. For 19 years he was Rector of Kazan University. His basic works are O nachalakh geometrii (Principles of Geometry), 1829, and Noviye nachala geometrii s polnoi teoriyei parallelnykh (New Principles of Geometry with a Complete Theory of Parallels), 1835–38.

Lobachevsky's geometry was based on the idea of the close dependence of geometrical relations on the actual nature of material bodies. His discovery consisted, first, in proving the independence of the fifth postulate of Euclidean geometry (see Euclid) from its other postulates and, secondly, in constructing a new geometry free of logical contradictions, whose fifth postulate states: through a point lying outside a straight line not one but at least two parallel lines may be drawn. Lobachevsky sought to prove the postulate on parallels by recourse to reality itself, to the nature of things.

Developing modern geometry, Lobachevsky showed that denial of the dependence between segments and angles in Euclidean geometry does not fully describe the qualities of space, and suggested that in reality there must be such a dependence. This is seen, for example, in the fact that there is a connection between the lateral dimensions of a triangle and its angles. For this reason, according to Lobachevsky, the sum of the angles of a triangle is actually less than two right angles. Lobachevsky assumed that new geometrical relations could be discovered either through astronomical research or in the field of microphenomena. The geometrical relations commonly used, however, are those existing within the limits of earthly dimensions for which Euclidean geometry remains valid.

Lobachevsky's geometry was a convincing argument against Kant's a priori theory. Philosophically, Lobachevsky was a materialist and considered our conceptions of the world the result of the impact of reality on the human consciousness. After Lobachevsky's discovery of the new geometry it was no longer possible to treat Euclidean geometry as proof of the apriority of spatial forms. Criticizing the a priori theory, Lobachevsky contended that knowledge is acquired through sense perception, and that innate concepts do not exist. By discovering and defending new ideas that revolutionized geometry Lobachevsky rendered a great service to philosophy.

Лобачевский

Николай Иванович [20.11(1.12).1792, Нижний Новгород, ныне г. Горький, - 12 (24).2.1856, Казань], русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист, деятель университетского образования и народного просвещения. Родился в семье мелкого чиновника. Почти всю жизнь Л. провёл в Казани. Там он учился в гимназии (1802-07) на казённом содержании, затем в Казанском университете (1807-11). Рано обнаружил выдающиеся способности, по окончании университета получил степень магистра (1811) и был оставлен при университете; в 1814 стал адъюнктом, в 1816 - экстраординарным и в 1822 - ординарным профессором. Несмотря на реакционную обстановку, сложившуюся в годы попечительства М. Л. Магницкого, Л. вёл напряжённую научную и педагогическую работу (преподавал математику, физику и астрономию), закупил в столице оборудование для физического кабинета и книги для библиотеки, а затем возглавлял её 10 лет (с 1825); Л. заведовал обсерваторией; избирался деканом физико-математического факультета (1820-22, 1823-25). Но столкновения с попечителем обострились: Л. отстаивал в преподавании научные материалистические взгляды.

В эти годы Л. отыскивал пути строгого построения начал геометрии. Сохранились: студенческие записи его лекций (от 1817), где им делалась попытка доказать постулат параллельности Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» на 1822/23 и 1824/25 Л. указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы. Наконец, преодолев тысячелетние традиции, он приходит к созданию новой геометрии - так называемой геометрии Лобачевского. 7 февраля 1826 он представил для напечатания в Записках физико-математического отделения сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). 11 февраля оно было рассмотрено и назначены рецензенты. Сам Л. указывал, что он читал это рассуждение на заседании отделения 12 февраля. Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Л. в его труд «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» (1829-30), явившийся первой в мировой литературе публикацией по неевклидовой геометрии. Исходя из поисков безусловной строгости и ясности в началах геометрии, Л. рассматривает аксиому параллельности Евклида как произвольное ограничение, как требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. Он заменяет эту аксиому требованием более широким и общим, именно: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную (по существу не менее чем одна, если учесть предельный случай).

Разработанная Л. новая геометрия существенно отличается от евклидовой геометрии, но при больших значениях входящей в формулы некоторой постоянной R (радиус кривизны пространства) отклонение становится незначительным (см. Лобачевского геометрия).

В соответствии со своим материалистическим подходом к изучению природы, Л. полагал, что только научный опыт может выявить, какая из геометрий осуществляется в физическом пространстве. Используя новейшие астрономические данные того времени, он пришёл к выводу, что число R очень велико и отклонения от евклидовой геометрии если и существуют, то заключены в пределах ошибок измерений. Т. о., была обоснована практическая пригодность евклидовой геометрии. Кроме того, Л. показал, как его геометрию можно применять в др. разделах математики, а именно в математическом анализе при вычислении определённых интегралов.

Доклад Л. совпал по времени с увольнением Магницкого. Л. был высоко оценен новым попечителем - М. Н. Мусиным-Пушкиным. Л. избрали ректором (1827) и за 19 лет руководства университетом он добился его подлинного расцвета. Программа деятельности Л. отражена в его замечательной речи «О важнейших предметах воспитания» (1828, опубликована 1832), в которой обрисован идеал гармонического развития личности, подчёркнуто общественное значение воспитания и образования, освещена роль наук и долг учёного перед страной и народом.

В бытность Л. ректором было осуществлено в 1832-40 строительство целого комплекса вспомогательных зданий: библиотека, астрономическая обсерватория, физический кабинет и химическая лаборатория, анатомический театр, клиника и др. Он положил начало «Учёным запискам Казанского университета» (1834) и развил издательскую деятельность. Уровень научно-учебной работы повысился, контингент студентов возрос. университет стал важным центром востоковедения. Немало сил Л. вкладывал и в улучшение постановки преподавания в гимназиях и училищах округа. В моменты стихийных бедствий (эпидемия холеры в 1830, пожар Казани в 1842) особенно ярко проявилась его забота об университете. Но ректорство не отрывало Л. от преподавания: в разные годы он читал лекции по аналитической механике, гидромеханике, интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям, математической физике, вариационному исчислению, а в 1838-40 - научно-популярные лекции по физике для населения. Студенты высоко ценили лекции Л.

Однако научные идеи Л. не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку, а в 1834 в реакции журнала «Сын отечества» появилась анонимная издевательская статейка. Но Л. не прекратил разработки своей геометрии. Его работы появлялись в 1835-38, а в 1840 в Германии вышла его книга «Геометрические исследования» (на немецком языке). Эта стойкая борьба за научную истину отличает Л. от двух его современников, тоже пришедших к открытию неевклидовой геометрии. Венгерский математик Я. Больяй опубликовал свой труд позднее Л. (1832). Не встретив поддержки у современников, он не продолжил исследований. Немецкий математик К. Ф. Гаусс также владел началами неевклидовой геометрии. Но из опасения встретить непонимание Гаусс не разрабатывал их далее и не опубликовал. Однако, не высказываясь в печати, он высоко оценил труды Л., и по его предложению Л. был в 1842 избран членом-корреспондентом Гёттингенского учёного общества.

Л. получил ряд ценных результатов и в др. разделах математики: так, в алгебре он разработал новый метод приближённого решения уравнений (Лобачевского метод), в математическом анализе получил ряд тонких теорем о тригонометрических рядах, уточнил понятие непрерывной функции и др.

В 1846 Л. оказался фактически отстранённым от университета. Он был назначен помощником нового попечителя (без оплаты) и лишён ректорства. Здоровье его пошатнулось. Но семейное горе - смерть сына, материальные затруднения и развивавшаяся слепота не могли сломить мужества Л. Последнюю работу «Пангеометрию» он создал за год до смерти, диктуя её текст.

Л. умер непризнанным. Большую роль в признании трудов Л. сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Казанский университет и физико-математическое общество провели большую работу по выявлению значения идей Л. и изданию его геометрических сочинений. Широкое признание пришло к 100-летнему юбилею Л. - была учреждена международная премия, в Казани открыт памятник (1896).

Соч.: Полн. собр. соч., т. 1-5, М. - Л., 1946-51; Избр. труды по геометрии, М. - Л., 1956.

Лит.: Васильев А. В., Лобачевский, СПБ, 1914; Каган В. Ф., Лобачевский, 2 изд., М. - Л., 1948 (имеется библ.); Лаптев Б. Л., Великий русский математик, «Вестник высшей школы», 1967, № 12; Историко-математические исследования, в, 3, 4, 6, 11, М. - Л., 1950-58 (ряд статей); Модзалевский Л. Б., Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, М. - Л., 1948.

Б. Л. Лаптев.

Н. И. Лобачевский.