ИЗМЕНЕНИЕ

Change

The most general form of being of all objects and phenomena. Change embraces every motion and interaction, the passage from one state to another, etc. In philosophy, change has always been contrasted to relative stability of properties, the structure or the laws of the existence of bodies. But the structure, properties and laws themselves are a result of interaction, they are determined by the various relations between bodies and are, therefore, produced by change of matter.

Изменение функции

Вариация функции, одна из важнейших характеристик функции действительного переменного. Пусть функция ƒ(x ) задана на некотором отрезке [ a , b]; её изменением, или полным изменением, на этом отрезке называется верхняя грань сумм

10/1001140.tif

распространённая на всевозможные разбиения

10/1001141.tif

отрезка [ a , b] на конечное число частей. Геометрически изменение непрерывной функции ƒ(x ) представляет собой длину проекции кривой у = ƒ(x ) на ось ординат, считая кратность покрытия (теорема Банаха). И. ф. ƒ(x ) на отрезке [ а , b] принято обозначать символом

10/1001142.tif.

Если функция ƒ(x ) имеет непрерывную производную, то

10/1001143.tif

Свойства И. ф.: 1) если а < Ь < c, то

10/1001144.tif

Существуют непрерывные функции, изменение которых бесконечно; например,

10/1001145.tif

Если И. ф. конечно, то такая функция называется функцией с ограниченным изменением (функцией с конечным изменением, или функцией ограниченной вариации). Функции с ограниченным изменением были определены и впервые изучались К. Жорданом (1881). Многие важные функции принадлежат к числу функций с ограниченным изменением, например монотонные функции, заданные на отрезке, функции с конечным числом максимумов и минимумов, функции, удовлетворяющие Липшица условию. Всякая функция с ограниченным изменением на отрезке [ а, b ] имеет не более чем счётное множество разрыва точек, и притом первого рода, интегрируема по Риману и есть разность двух неубывающих функций (К. Жордан). Предел сходящейся последовательности функций с равностепенно ограниченными изменениями есть функция с ограниченным изменением. Функции с ограниченным изменением имеют почти всюду конечную производную, которая интегрируема по Лебегу (теорема А. Лебега).

Функции с ограниченным изменением имеют приложения в теории интеграла Стилтьеса, в теории тригонометрических рядов, в геометрии.

Лит.: Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 3 изд., М. - Л., 1938; Kaмкe Э., Интеграл Лебега-Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. - Л., 1951; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. - Л., 1934; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.

С. Б. Стечкин.