ИСКЛЮЧЁННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН

Excluded Middle, Law of

A law of logic, according to which of the two propositions, one of which denies what the other affirms, one is necessarily true. It was first formulated by Aristotle. In symbolic notation A∨¬A (where A is any proposition, ∨ a sign of disjunction, and the line over the symbol a sign of negation). Thus, of the two sentences: "The sun is a star" (A is B) and "The sun is not a star" (A is not B) one is necessarily true.

Having in view such statements, traditional formal logic formulated the Law of Excluded Middle as follows: either A is B or it is not B. No third is possible (tertium non datur). The formulation given earlier applies to propositions of any form. The Law of Excluded Middle is often used in the process of proof, for example, by rule of contraries. In modern constructive logic the proposition A∨¬A is not regarded as a law of logic or a constructively universal statement.

Исключённого третьего принцип

(Лат. tertium non datur) принцип классической формальной логики, утверждающий, что всякое суждение или истинно, или ложно (символически это выражают формулой A ∨ ¬A, где ∨ означает «или», A - утверждение « A истинно». а ¬A - утверждение « A ложно»).

В такой формулировке И. т. п. совпадает с Двузначности принципом. В том же контексте исчисления высказываний (суждений) формула A ∨

¬A может быть прочитана и иначе: для любого суждения A истинно либо само A, либо его отрицание (здесь A - произвольное суждение, а ¬ A - отрицание A). Вторая формулировка И. т. п. в соединении с аристотелевским толкованием этого принципа: или А(х ) верно для каждого x, или существует по крайней мере один такой x, для которого А(х ) не верно, - отчётливо выражает содержание И. т. п. в контексте теоретико-множественной логики предикатов, а именно, эквивалентность отрицания общего суждения и суждения о существовании. Эта эквивалентность, вообще говоря, не может быть доказана без применения закона снятия двойного отрицания, равносильного И. т. п., что приводит к порочному кругу (petitio principii) при попытке рассматривать её доказательство как обоснование И. т. п.

«Неэффективный», в общем случае, характер суждений о существовании, получаемых на основе И. т. п., служит естественным основанием для отказа от этого принципа в интуиционистских и конструктивных программах обоснования математики. Поскольку и исключение И. т. п. из числа исходных принципов теории, и, напротив, включение его в число таких принципов не приводят к противоречию, И. т. п. с методологической точки зрения рассматривается теперь только как постулат классической логики.

М. М. Новосёлов.