ИНФОРМАЦИЯ

Information

One of the fundamental concepts of cybernetics. The scientific concept of Information largely detracts from the meaning of messages and deals with their quantitative aspect. Thus, the concept of measurement of information is introduced, being defined as a quantity proportional to the degree of probability of the event mentioned in the message. The more probable the event the less the amount of Information that is carried in a message about its occurrence, and vice versa.

The development of the scientific concept of Information has made possible a uniform approach to many processes that had previously been thought to have nothing whatsoever in common, for example, the transmission of messages along engineering communication systems, the functioning of the nervous system, computer operations, various control processes, etc. In all of these we deal with processes involving the transmission, storage, and processing of Information. Here the concept of Information has played a part similar to that of the concept of energy in physics by providing an opportunity to describe the most diverse physical processes from a common point of view.

Two aspects should be distinguished in the concept of Information. First, Information is a measure of the organisation of a system. The mathematical expression of Information is identical with the expression for entropy, taken with the reverse sign. Just as entropy is an expression of the disorganisation of a system, so Information is the measure of its organisation. Information thus understood constitutes an internal property of a system or process in itself, and as such it can be called structural information.

It is to be distinguished from relative information, which is associated with the interrelationship of two processes. Let there be processes A and B with many different states. If to each state of A there corresponds a certain state of B, and the relations between the states of B are isomorphous with the relations between the states of A, then we can say that process B carries Information about process A. Information theory usually deals with relative Information.

From the point of view of this theory our brain represents a cybernetic system of extreme complexity which receives, stores, and processes Information coming in from the outside world. The brain's ability to reflect and perceive the outside world is seen as a link in the development of processes associated with the transmission and processing of information. That is why one finds in modern information theory an embodiment of Lenin's thesis, according to which all matter possesses a quality akin to perception, namely, reflection.

Информация

Осведомление. Информировать – осведомлять, сообщать о чём-либо.

Информация

В кибернетике. Естественнонаучное понимание И. основано на двух определениях этого понятия, предназначенных для различных целей (для информации теории, иначе называемой статистической теорией связи, и теории статистических оценок). К ним можно присоединить и третье (находящееся в стадии изучения), связанное с понятием сложности алгоритмов.

Центральное положение понятия И. в кибернетике объясняется тем, что кибернетика (ограничивая и уточняя интуитивное представление об И.) изучает машины и живые организмы с точки зрения их способности воспринимать определённую И., сохранять её в «памяти», передавать по «каналам связи» и перерабатывать её в «сигналы», направляющие их деятельность в соответствующую сторону.

В некоторых случаях возможность сравнения различных групп данных по содержащейся в них И. столь же естественна, как возможность сравнения плоских фигур по их «площади»; независимо от способа измерения площадей можно сказать, что фигура A имеет не большую площадь, чем B , если A может быть целиком помещена в В (сравни примеры 1-3 ниже). Более глубокий факт - возможность выразить площадь числом и на этой основе сравнить между собой фигуры произвольной формы - является результатом развитой математической теории. Подобно этому, фундаментальным результатом теории И. является утверждение о том, что в определённых весьма широких условиях можно пренебречь качественными особенностями И. и выразить её количество числом. Только этим числом определяются возможности передачи И. по каналам связи и её хранения в запоминающих устройствах.

Пример 1. В классической механике знание положения и скорости частицы, движущейся в силовом поле, в данный момент времени даёт И. о её положении в любой будущий момент времени, притом полную в том смысле, что это положение может быть предсказано точно. Знание энергии частицы даёт И., но, очевидно, неполную.

Пример 2. Равенство

a = b    (1)

даёт И. относительно вещественных переменных a и b. Равенство

a 2 = b 2     (2)

даёт меньшую И. [так как из (1) следует (2), но эти равенства не равносильны]. Наконец, равенство

a 3 = b 3     (3)

равносильное (1), даёт ту же И., то есть (1) и (3) - это различные формы задания одной и той же И.

Пример 3. Результаты произведённых с ошибками независимых измерений какой-либо физической величины дают И. о её точном значении. Увеличение числа наблюдений увеличивает эту И.

Пример 3 а. Среднее арифметическое результатов наблюдений также содержит некоторую И. относительно рассматриваемой величины. Как показывает математическая статистика, в случае нормального распределения вероятностей ошибок с известной дисперсией среднее арифметическое содержит всю И.

Пример 4. Пусть результатом некоторого измерения является случайная величина X. При передаче по некоторому каналу связи X искажается, в результате чего на приёмном конце получают величину Y = X + θ, где θ не зависит от X (в смысле теории вероятностей). «Выход» Y даёт И. о «входе» X; причём естественно ожидать, что эта И. тем меньше, чем больше дисперсия случайной ошибки θ.

В каждом из приведённых примеров данные сравнивались по большей или меньшей полноте содержащейся в них И. В примерах 1-3 смысл такого сравнения ясен и сводится к анализу равносильности или неравносильности некоторых соотношений. В примерах 3 а и 4 этот смысл требует уточнения. Это уточнение даётся, соответственно, математической статистикой и теорией И. (для которых эти примеры являются типичными).

В основе теории информации лежит предложенный в 1948 американским учёным К. Шенноном способ измерения количества И., содержащейся в одном случайном объекте (событии, величине, функции и т. п.) относительно другого случайного объекта. Этот способ приводит к выражению количества И. числом. Положение можно лучше объяснить в простейшей обстановке, когда рассматриваемые случайные объекты являются случайными величинами, принимающими лишь конечное число значений. Пусть X - случайная величина, принимающая значения x 1 , x 2 ,..., x n с вероятностями p 1 , p 2 ,..., p n , а Y - случайная величина, принимающая значения y 1 , y 2 ,..., y m с вероятностями q 1 , q 2 ,..., q m. Тогда И. I (X , Y ) относительно Y , содержащаяся в X, определяется формулой

I(X,Y) =   ∑ i,j p ij log 2 ( p ij p i q j ),    (4)

где p ij - вероятность совмещения событий X = x i и Y = y j и логарифмы берутся по основанию 2. И. I (X , Y ) обладает рядом свойств, которые естественно требовать от меры количества И. Так, всегда I(X, Y) ≥ 0 и равенство I(X, Y) = 0 возможно тогда и только тогда, когда p ij = p i q j при всех i и j, т. е. когда случайные величины X и Y независимы. Далее, всегда I(X, Y) ≤ I (Y, Y) и равенство возможно только в случае, когда Y есть функция от X (например, Y = X² и т. д.).

Кроме того, имеет место равенство I (X , Y) = I (Y , X).

Величина

H(X) = I(X,X) = ∑ p i log 2 ( 1 p i )

носит название энтропии случайной величины X. Понятие энтропии относится к числу основных понятий теории И. Количество И. и энтропия связаны соотношением

I (X, Y) = H (X) + H(Y) − H(X, Y),    (5)

где H (X, Y) - энтропия пары (X, Y), т. е.

H(X,Y) =   ∑ i,j log 2 ( 1 p ij ).

Величина энтропии указывает среднее число двоичных знаков (см. Двоичные единицы), необходимое для различения (или записи) возможных значений случайной величины (подробнее см. Кодирование, Энтропия). Это обстоятельство позволяет понять роль количества И. (4) при «хранении» И. в запоминающих устройствах. Если случайные величины X и Y независимы, то для записи значения X требуется в среднем H (X ) двоичных знаков, для значения Y требуется H (Y ) двоичных знаков, а для пары (X, Y ) требуется Н (Х ) + H (Y ) двоичных знаков. Если же случайные величины X и Y зависимы, то среднее число двоичных знаков, необходимое для записи пары (X, Y ), оказывается меньшим суммы Н (Х) + H (Y), так как

H(X, Y) = H(X) + H(Y) − I(X, Y).

С помощью значительно более глубоких теорем выясняется роль количества И. (4) в вопросах передачи И. по каналам связи. Основная информационная характеристика каналов, так называемая пропускная способность (или ёмкость), определяется через понятие «И.» (подробнее см. Канал).

Если X и Y имеют совместную плотность p(x , y), то

I(X,Y) = ∫∫ p(x,y) log 2 ( p(x,y) p(x)q(y) dx dy,    (6)

где буквами p и q обозначены плотности вероятности X и Y соответственно. При этом энтропии Н (X ) и Н (Y ) не существуют, но имеет место формула, аналогичная (5),

I(X, Y) = h(X) + h(Y) − h(X, Y),    (7)

где

h(X) = ∫ p(x) log 2 1 p(x) dx

дифференциальная энтропия X [h(Y) и h(X, Y) определяется подобным же образом].

Пример 5. Пусть в условиях примера 4 случайные величины X и θ имеют нормальное распределение вероятностей с нулевыми средними значениями и дисперсиями, равными соответственно σ² х и σ² θ.

Тогда, как можно подсчитать по формулам (6) или (7):

I(Y,X) = I(X,Y) = 1 2 log 2 [ 1+ σ² x σ² y ].

Таким образом, количество И. в «принятом сигнале» Y относительно «переданного сигнала» X стремится к нулю при возрастании уровня «помех» θ (т. е. при σ² θ → ∞) и неограниченно возрастает при исчезающе малом влиянии «помех» (т. е. при σ² θ → 0).

Особенный интерес для теории связи представляет случай, когда в обстановке примеров 4 и 5 случайные величины X и Y заменяются случайными функциями (или, как говорят, случайными процессами) X (t ) и Y (t ), которые описывают изменение некоторой величины на входе и на выходе передающего устройства. Количество И. в Y (t ) относительно X (t ) при заданном уровне помех («шумов», по акустической терминологии) θ(t) может служить критерием качества самого этого устройства (см. Сигнал, Шеннона теорема).

В задачах математической статистики также пользуются понятием И. (сравни примеры 3 и 3а). Однако как по своему формальному определению, так и по своему назначению оно отличается от вышеприведённого (из теории И.). Статистика имеет дело с большим числом результатов наблюдений и заменяет обычно их полное перечисление указанием некоторых сводных характеристик. Иногда при такой замене происходит потеря И., но при некоторых условиях сводные характеристики содержат всю И., содержащуюся в полных данных (разъяснение смысла этого высказывания даётся в конце примера 6). Понятие И. в статистике было введено английским статистиком Р. Фишером в 1921.

Пример 6. Пусть X 1 , X 2 ,..., X n , - результаты n независимых наблюдений некоторой величины, распределённые по нормальному закону с плотностью вероятности

p(x; a, σ²) = 1   √ 2πσ

exp [ − (x−a)² 2σ² ] ,

где параметры a и σ² (среднее и дисперсия) неизвестны и должны быть оценены по результатам наблюдений. Достаточными статистиками (т. е. функциями от результатов наблюдении, содержащими всю И. о неизвестных параметрах) в этом примере являются среднее арифметическое

X̅ = 1 n

n Σ i=1 X i

и так называемая эмпирическая дисперсия

s 2 = 1 n

n Σ i=1 (X i − X) 2.

Если параметр σ² известен, то достаточной статистикой будет только X (сравни пример 3 а выше).

Смысл выражения «вся И.» может быть пояснён следующим образом. Пусть имеется какая-либо функция неизвестных параметров φ = φ ( a , σ²) и пусть

φ = φ(X 1 , X 2 ,..., X n )

• какая-либо её оценка, лишённая систематической ошибки. Пусть качество оценки (её точность) измеряется (как это обычно делается в задачах математической статистики) дисперсией разности φ - φ. Тогда существует другая оценка φ, зависящая не от отдельных величин X i , а только от сводных характеристик X и s², не худшая (в смысле упомянутого критерия), чем φ. Р. Фишером была предложена также мера (среднего) количества И. относительно неизвестного параметра, содержащейся в одном наблюдении. Смысл этого понятия раскрывается в теории статистических оценок.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Ван-дер-Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; Кульбак С., Теория информации и статистика, пер. с англ., М., 1967.

Ю. В. Прохоров.